Furono inventati dal matematico anticonformista franco-americano Benoit Mandelbrot, che tentò di visualizzare questo campo con l’aiuto di alcuni potenti computer dell’IBM TJ Watson Research Center nella parte settentrionale dello stato di New York.
Un frattale, termine che deriva dal latino fractus , che significa “rotto” o “frammentato”, è una forma geometrica che può essere divisa in parti più piccole, ciascuna delle quali è una copia in scala dell’intero. Sono una rappresentazione visiva del fatto che persino un processo con il modello matematico più semplice può dimostrare un comportamento complesso e intricato a tutte le scale.
Come vengono creati i frattali
Il sistema utilizzato da Mandelbrot era il seguente: si sceglie un numero (z), lo si eleva al quadrato e poi si aggiunge un altro numero (c). Quindi si ripete più e più volte, mantenendo c invariato e utilizzando ogni volta come z la somma totale del calcolo precedente.
Ad esempio, partendo da z=0 e c=1, il primo calcolo sarebbe 0² + 1 = 1. Ponendo z=1 per il calcolo successivo, si ottiene 1² + 1 = 2, e così via.
Per avere un’idea di cosa succederà dopo, puoi tracciare il valore di c su una linea e codificarlo a colori a seconda di quante iterazioni nella serie sono necessarie affinché la somma totale superi 4 (il motivo per cui è 4 è perché qualsiasi cosa più grande crescerà rapidamente verso un numero infinitamente grande nelle iterazioni successive). Ad esempio, potresti usare il blu se la serie non supera mai 4, il rosso se ci arriva dopo 1-5 iterazioni, il nero se ci vogliono 6-9 iterazioni e così via.
L’insieme di Mandelbrot è in realtà più complicato perché non si traccia c su una retta ma su un piano con assi x e y. Ciò comporta l’introduzione di diversi altri concetti matematici in cui c è un numero complesso e l’asse y si riferisce a valori immaginari. Se vuoi saperne di più, guarda il video qui sotto. Tracciando molti valori diversi di c sul piano, si derivano i frattali.
Questa idea di visualizzazione di Mandelbrot, che avrebbe compiuto 100 anni questo mese, ha portato i matematici ad accettare il ruolo delle immagini nella matematica sperimentale. Ha anche portato a un’enorme quantità di ricerca. In cinque occasioni su otto dal 1994, la medaglia Fields, tra i più alti riconoscimenti in matematica, è stata assegnata per lavori correlati alle sue congetture.
Mandelbrot nel mondo reale
Per secoli, i matematici hanno dovuto convivere con lo scomodo pensiero che i loro strumenti esistenti, noti come geometria euclidea, non fossero realmente adatti alla modellazione e alla comprensione del mondo reale. Tutti producevano curve lisce, ma la natura non è così.
Ad esempio, si può abbozzare la forma della costa britannica con pochi tratti continui. Ma una volta che si ingrandisce, si possono vedere molte piccole irregolarità che prima erano invisibili. Lo stesso vale per i letti dei fiumi, le montagne e i rami degli alberi, tra molti altri.
Quando i matematici cercavano di modellare la superficie di qualsiasi cosa, queste piccole imperfezioni erano sempre d’intralcio. Per adattare il loro lavoro alla realtà, dovevano introdurre elementi aggiuntivi che sovrapponevano “rumore” in cima. Ma erano brutti e assurdi, e compensavano le loro inadeguatezze creando un’illusione.
La filosofia rivoluzionaria di Mandelbrot, presentata nel suo manifesto del 1982, The Fractal Geometry of Nature, sosteneva che i metodi scientifici potevano essere adattati per studiare vaste classi di fenomeni irregolari come questi. Fu il primo a rendersi conto che, sparsi nella letteratura di ricerca, spesso in fonti oscure, c’erano i germi di un quadro coerente che avrebbe consentito ai modelli matematici di andare oltre la comodità della geometria euclidea e affrontare le irregolarità senza fare affidamento su un meccanismo sovrapposto.
Ciò ha reso la sua teoria applicabile a un’ampia gamma di campi incredibilmente diversi. Ad esempio, è utilizzata per modellare la formazione delle nubi in meteorologia e le fluttuazioni dei prezzi nel mercato azionario. Altri campi in cui ha applicazione includono fisica statistica, cosmologia, geofisica, computer grafica e fisiologia.
La storia della vita di Mandelbrot è stata tanto frastagliata quanto la sua scoperta. Nacque da una famiglia ebreo-lituana a Varsavia nel 1924. Avvertendo l’avvicinarsi dei guai, la famiglia si trasferì prima a Parigi nel 1936, poi in una cittadina nel sud della Francia.
Nel 1945 fu ammesso all’università più prestigiosa di Francia, l’École Normale Supérieure di Parigi, ma vi rimase solo per un giorno. Abbandonò gli studi per trasferirsi alla meno prestigiosa École Polytechnique, che gli si addiceva di più.
Dopo un Master in aerodinamica al California Institute of Technology e un dottorato in matematica all’Università di Parigi, Mandelbrot ha trascorso la maggior parte della sua attiva vita scientifica in un laboratorio industriale IBM. Solo nel 1987 è stato nominato Abraham Robinson Adjunct Professor of Mathematical Sciences a Yale, dove è rimasto fino alla sua morte nel 2010.
Non è esagerato dire che Mandelbrot è una delle più grandi menti della nostra era. Grazie al suo lavoro, le immagini visive dei frattali sono diventate simboliche per la ricerca matematica nel suo complesso. La comunità ha riconosciuto il suo contributo chiamando uno dei frattali più famosi insieme di Mandelbrot.
Nell’epilogo di un documentario del 1995 sulla sua scoperta, The Colours of Infinity, vediamo Benoit rivolgersi alla telecamera:
Ho trascorso la maggior parte della mia vita a sviscerare le idee che sono diventate la geometria frattale. È stato emozionante e piacevole, il più delle volte. Ma è stato anche solitario. Per anni, in pochi condividevano le mie opinioni. Eppure, lo spettro dell’idea dei frattali ha continuato a sedurmi, così ho continuato a cercare durante i lunghi anni aridi.
Quindi trova la cosa che ami. Non importa tanto cosa sia. Trova la cosa che ami e buttati dentro. Ho trovato una nuova geometria; troverai qualcos’altro. Qualunque cosa tu trovi sarà tua.
