Da quando l’umanità ha guardato le stelle, il concetto di infinito è entrato prepotentemente nelle nostre menti. Ciò che va oltre la nostra immaginazione, ciò che è irraggiungibile e incomprensibile… Tutto questo, e molto altro, è in realtà infinito.
Ma l’infinito in matematica fa molta strada. Il matematico tedesco Georg Cantor è stato colui che ha studiato più intensamente questo concetto e la persona che è riuscito a domare la bestia.
Cantor aveva, tra gli altri, argomenti che gli permettevano di garantire che ci fossero infiniti di dimensioni diverse. Come è possibile?
L’infinito del numerabile
Per confrontare le dimensioni degli insiemi, probabilmente la tecnica più semplice consiste nell’accoppiare gli oggetti da un insieme all’altro. Se ogni elemento di un insieme è accoppiato con un elemento dell’altro (e non ne rimane nessuno), possiamo assicurarci che entrambi gli insiemi abbiano lo stesso numero di elementi, cioè abbiano la stessa dimensione. In matematica diciamo che abbiamo stabilito una biiezione.
Questa tecnica di corrispondenza funziona molto bene con insiemi finiti. Contare le cose non è altro che stabilire una niiezione tra i primi numeri naturali e ciò che vogliamo contare.
Ma le biiezioni sono anche un buon modo per confrontare le dimensioni di insiemi infiniti. E se parliamo di infinito, l’insieme che per primo viene in mente è quello di tutti i numeri naturali. Qualsiasi insieme che può essere messo in biiezione con i naturali è detto numerabile.
Ma il nostro intuito può giocarci brutti scherzi. Vediamo alcuni degli esempi in cui lo stesso Cantor si è imbattuto.
I numeri razionali sono le frazioni formate da numeri interi (evitando lo zero al denominatore). In questo modo, tutti i numeri naturali sono, in particolare, razionali. Ma… quanti razionali ci sono?
Uno dei primi risultati sull’infinito che Cantor dimostrò, quando era ancora uno studente e solo per gioco, fu che, in realtà, ci sono tanti numeri naturali quanti sono i numeri razionali. E questo nonostante il fatto che l’uno sia parte dell’altro.
Verificare ciò equivale a dare un’enumerazione dei razionali, cioè stabilire quale sia il primo, il secondo, ecc… Per fare questo, la prima cosa è rendersi conto che basta elencare i razionali positivi (ovviamente, perché possiamo sempre fare: zero, positivo, negativo, positivo, negativo,…).
L’argomentazione attribuita a Cantor è semplice, ma efficace. Mettiamo in fila tutti i razionali con denominatore 1, nella seconda riga quelli con denominatore 2, nella terza riga quelli con denominatore 3 e così via. In questo modo avremo tutti i razionali in una specie di tabella infinita, anche se ce ne saranno molti che appariranno ripetuti (non importa, verranno rimossi in seguito). Ora, una semplice linea a zigzag che attraversa tutti i numeri della tabella fungerà da enumerazione.
Ci sono quindi tanti numeri naturali quanti sono i numeri razionali.
L’infinito del continuum
Ma se disegniamo tutti i numeri razionali sulla linea, si scopre che praticamente la riempiono. In realtà, per quanto vogliamo vicino a qualsiasi numero (reale) c’è un razionale. Questa proprietà è nota come densità dei razionali in reali.
Così Cantor, che conosceva bene questo fatto, si chiese se fosse possibile enumerare tutti i numeri reali. Poiché sembra che ciò che manca ai razionali per riempire la linea sia praticamente nulla, è una domanda molto naturale (gioco di parole).
Non terremo tutti i numeri reali, ma quelli compresi tra 0 e 1. Questi numeri hanno la particolarità di poter essere scritti tutti in forma decimale partendo da 0 (ricordiamo che 1=0.999…).
Cantor propone il seguente argomento. Supponiamo di poter enumerare tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1 e metterli in una lista. Per esempio:
Bene, sulla base di quella lista, Cantor costruisce un nuovo numero.
Osserviamo il primo decimale del primo numero (quello in rosso), 3 in questo caso. Per il suo numero, Cantor prende come primo decimale qualsiasi cifra che non sia 3, ad esempio 4.
Ripetiamo l’argomento con il secondo decimale del secondo numero, 0; Cantor prende, per esempio, 1. Poiché il terzo decimale del terzo numero è 1, prendiamo 2 per il nostro numero, per esempio. E così via, continuiamo con tutti i numeri della lista. In questo modo costruiamo il numero 0.412064…
Ma cosa c’è di così speciale in quel numero? Beh, non è sulla lista. Infatti, poiché il primo decimale è diverso dal primo numero della lista, non può essere il primo; poiché il secondo decimale è diverso dal secondo nell’elenco, non può essere neanche il secondo; né il terzo, poiché differisce dal terzo decimale; Non il quarto, non il quinto…
In breve, ciò che Cantor dimostra è che qualunque sia il modo di enumerare i numeri tra 0 e 1, ne mancheremo sempre almeno uno. In altre parole, è impossibile stabilire una biiezione tra i reali (tra 0 e 1) e i naturali.
E siccome ci sono più numeri reali che naturali, Cantor conclude che l’infinito del continuo, quello dei numeri reali, è maggiore dell’infinito dei numeri naturali.
Abbiamo infiniti di diverse dimensioni.
Tutto un susseguirsi di infiniti ognuno più grande del precedente
Questo argomento di Cantor non è stato il primo che ha pubblicato. L’originale era molto più complicato e tecnico e gli ha portato non poche battute d’arresto.
In compenso, l’argomento diagonale (come è noto quello che abbiamo visto) offre in realtà un modo per generare un infinito più grande di qualsiasi dato. Questo è noto come teorema di Cantor.
Cantor non solo stabilisce l’esistenza di un infinito più grande di un altro. Mostra che c’è tutta una successione di infiniti, ognuno più grande del precedente.
Autore
José Antonio Prado Bassas, Università di Siviglia
